11.12.2023.

U sistemu tri tela, od kojih jedno ima zanemarljivu masu u poređenju sa preostala dva, postoji pet tačaka u kojima su rezultante mehaničkih sila jednake nuli.

Klasična mehanika, koju je postavio ser Isak Njutn (Isaac Newton), zaista je veličanstveno delo, jer nam omogućuje da na osnovu početnih parametara elemenata nekog mehaničkog sistema (koordinate, radijus-vektori, trajektorije, brzine) predvidimo stanje sistema u proizvoljnom vremenskom trenutku. Sistem koji ima jedan jedini element (telo) jednostavan je za matematičko opisivanje, jer je taj element statičan sam u odnosu na sebe. Sistem sa tačno dva elementa takođe je jednostavan; Keplerovi zakoni, mada empirijski definisani pre nego što su objašnjeni Njutnovom mehanikom, astronomima su najpoznatiji problem dva tela. Međutim, čim u sistemu imamo tri ili više tela, jednačine koje opisuju stanje sistema postaju u praksi znatno složenije za rešavanje.

Lagranž (Joseph- Louis Lagrange, 1736–1813)

Baveći se ovim problemom kod sistema sa tri elementa, tzv. problemom tri tela, matematičar Lagranž (Joseph-Louis Lagrange), pretpostavljajući da je trajektorija objekta određena putanjom koja minimizuje akciju u vremenu, formulisao je novu verziju Njutnove mehanike, koja je i dobila ime – Lagranžova mehanika.

U Lagranžovoj mehanici posebno je značajan problem tri tela, kada jedno telo ima zanemarljivu masu u odnosu na ostala dva. Da ta dva masivnija tela ne bi pala jedno na drugo usled zajedničkog gravitacionog privlačenja, moraju se kretati kružno, oko svog zajedničkog centra mase (težišta, baricentra). Pokazuje se da tada postoji tačno pet tačaka u kojima je rezultanta (vektorski zbir) svih mehaničkih sila jednaka nuli. Ove tačke precizno su definisane, i nazivaju se Lagranžovim tačkama.

U daljem tekstu mase dva masivnija tela označićemo sa M1 i M2, telo male mase sa m, a pet Lagranžovih tačaka sa L1, L2, L3, L4 i L5. Tela M1 i M2 rotiraju oko centra masa, a telo mase m rotira oko jednog od tela M1 i M2, ali se i kreće zajedno sa njim oko baricentra sistema M1 i M2. Takođe, pretpostavićemo da je M1 > M2.

Koje sve sile deluju na telo mase m? Pre svega, reč je o velikim masama M1 i M2, koje gravitaciono privlače malo telo, ali se i same međusobno privlače. Ako bismo posmatrali sistem sa tačke gledišta masivnijeg tela M1 (to se stručno kaže – iz referentnog sistema vezanog za telo M1) videli bismo da oko njega rotira telo M2, i to zajedno sa malim telom m, pa na to malo telo, uz prethodne gravitacione sile, deluje i centrifugalna sila, jer i ono zajedno sa telom M2 rotira oko tela M1. Sve ove sile se sabiraju u svakoj tački prostora, i to »vektorski«. Račun pokazuje da postoji tačno pet tačaka u kojima je ovaj zbir jednak nuli.

Telo mase m, kao i bilo koje drugo telo male mase, postavljeno u bilo koju od ovih tačaka neće biti pod dejstvom nikakve mehaničke sile. Mada će biti u snažnom gravitacionom polju oba velika tela, ukupna sila koja na njega deluje biće jednaka nuli. Zbog toga telo postavljeno u Lagranžovu tačku ostaje tamo »večno«.

Elem, pogledajmo sada gde se to zapravo nalaze ove tačke. Tačka L1 nalazi se na liniji koja spaja mase M1 i M2, i to između ovih masa. Interesantno je da je ovo jedina tačka koja bi postojala i kada velika tela ne bi orbitirala oko zajedničkog baricentra, nego kada bi mirovala. Prosto, koliko bi jedno telo vuklo telo m na jednu stranu, toliko bi i drugo telo vuklo telo m na drugu stranu.

Tačka L2 nalazi se takođe na liniji na kojoj se nalaze i tela M1 i M2, ali iza tela manje mase, iza M2.

Tačka L3 nalazi se isto na liniji određenoj telima M1 i M2, ali iza tela veće mase.

Konačno, tačke L4 i L5 nalaze se u temenima jednakostraničnih trouglova koji imaju zajedničku osnovicu određenu centrima M1 i M2 i nalaze se u ravni orbite tela M1 i M2 oko baricentra.

Sve ove tačke prikazane su na ilustraciji.

Osobina Lagranžovih tačaka da u njima »nema nikakve sile« čini ih veoma pogodnim da u njih postavimo veštačke satelite. Zbog nepostojanja sile, sateliti bi u tim tačkama ostali »beskonačno dugo« i to (skoro) bez ikakve potrebe za korekcijom položaja, pa ne bi ni morali da imaju ni raketne motore, a samim tim ni potrebu za gorivom. Zamislite koliko se samo korisnog tereta na račun nepotrebnog motora i goriva može dobiti!

U sistemu Sunce-Zemlja u tački L1 »parkirani« su sledeći sateliti: Advanced Composition Explorer (ACE), Genesis, International Sun/Earth Explorer 3 (ISEE-3), i Solar and Heliospheric Observatory (SOHO). Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) je u tački L2 ovog sistema. Ove, 2008. godine, planirano je postavljanje u istu tačku Herschel Space Observatory, kao i James Webb Space Telescope. ESA-in Planck Satellite treba da bude smešten u orbitu oko L2. Još nekoliko teleskopa bi trebalo da iskoristi pogodnosti Lagranžovih tačaka.

Prednosti Lagranžovih tačaka iskoristila je i sama priroda. U sistemu Sunce-Jupiter postoji nekoliko hiljada asteroida smeštenih u tačke L4 i L5 sistema; to su tzv. asteroidi Trojanci. U sistemu Sunce-Neptun asteroidi, nazvani Neptunovim Trojancima, takođe su u tačkama L4 i L5. Postoje ekvivalentne pojave i u sistemu Sunce-Mars i u sistemima koji čini Saturn sa svojim masivnijim satelitima. Npr. Tetis u sistemu Saturn-Tetis u svojim L4 i L5 tačkama ima dva pratioca – Telesto i Kalipso.

Zbog relativno složenog matematičkog aparata koji je neophodan za rešavanje problema Lagranžovih tačaka, u delima naučne fantastike Lagranžove tačke ne pominju se prečesto. Verovatno autori tih dela pretpostavljaju da veći deo potencijalne publike neće moći da shvati značaj teorije. Vi ćete, međutim, u grubim crtama znati o čemu je reč. Zar ne?