Ovo je tekst o jednom paradoksu koji možda ukazuje na ograničenje našeg uma. Trubu je osmislio italijanski fizičar i matematičar Toričeli (1608-1647), najpoznatiji po otkriću uređaja za merenje atmosferskog pritiska, barometra.

Truba je zamišljeno geometrijsko telo koje se dobija od funkcije y=1/x, s tim da x mora biti veće od 0 da bismo izbegli deljenje sa nulom. Dijagram te funkcije je poznat svakom srednjoškolcu i izgleda ovako:

1

Funkcija 1/x.

Sada zarotirajmo dobijunu krivu oko x ose. Dobićemo 3D objekat u obliku trube:

 2

Rotiranjem funkcije 1/x oko x ose dobijamo geomerijski objekat u tri dimenzije. Gavrilovu trubu.

Toričeli je potom izračunao površinu i zapreminu trube i došao do neočekivanog rezultata. Da je površina trube beskonačno velika, a zapremina konačna. Za dokaz je dovoljno znanje gimnazijske matematike i možete ga videti na Vikipediji i na dnu ovog teksta.

Kako to da trubu možemo napuniti farbom, jer je njena zapremina konačna, i time je ofarbati (iznutra), a istovremeno je ne možemo ofarbati jer je njena površina beskonačna? Zbog toga se Gavrilova truba smatra paradoksalnom, protivnom zdravom razumu.

Vikipedija kaže da je truba smatrana paradoksom u vreme njenog otkrivanja ali ne i danas. Kaže: "Rešenje paradoksa je u posledici da je potrebna beskonačna količina farbe da bi se ofarbala beskonačna površina ako je sloj farbe konstantne debljine; ovo u teoriji nije tačno u unutrašnjosti trube, i u praksi je veći deo trube nedostupan za farbu, posebno tamo gde je prečnik trube manji od prečnika molekula farbe. Ako se uzme da je sloj farbe bez debljine, trebalo bi beskonačno dugo vremena da farba stigne sve do „kraja“ trube"

Objašnjenje je nategnuto. Ima bezbroj matematičkih objekata pa se ne uzima u obzir debljina molekula. Ako je farba beskonačno tanka, pozivanje ne beskonačno vreme farbanja nije argument koji poništava beskonačnu površinu. Farbali, ne farbali trubu, njena matematički izračunata beskonačna površina ostaje.

Dalje Vikipedija kaže: "Drugi način na koji se ovaj „paradoks“ može izložiti je sledeći: truba se može popuniti farbom, ali nema dovoljno farbe da se ofarba njena spoljašnjost."

Ovo je baš promašaj jer 2 puta beskonačno je isto beskonačno, kao što je 1/2 od beskonačnog isto beskonačno. Tako da mislim da je truba i dalje paradoks bez dobrog razrešenja i da kao takva govori o ograničenosti našeg uma kada se sreće sa beskonačnim.

U početku se ova truba nazivala Toričeljivom trubom, ali se vremenom ustalio naziv Gavrilova truba. Razlog tome je što su naučnici ranijih vekova imali i religijsko obrazovanje i u njoj našli analogiju. Gavrilova truba je po predanju truba arhanđela (anđela najvišeg nivoa) Gavrila kojom će on najaviti drugi dolazak Isusa Hrista i dan Strašnog suda u kome će svaka ljudska sudbina doći do svog ishodišta. U tom danu će se sresti naše konačno vreme i beskonačnost, odnosno večnost koja će uslediti. Kao što se u Toričelivoj, odnosno Gavrilovoj trubi sreću konačnost (zapremina) i beskonačnost (površina).

Izračunajmo zapreminu za trubu koja ima dužinu od x=1 do x=a, gde je a jednako ili veće od 1. Integralnim računam se nalazi zapremina V i površina P.

 f1

a može biti proizvoljno veliko. Iz jednačina se vidi da je zapremina trube između 0 (za a=1) i π (za beskonačno veliko a). Matematički rečeno, zapremina teži ka π, kako a teži ka beskonačnosti. Iskazano jednačinom pomoću limesa:

f2

Površina je 2π pomnoženo sa prirodnim logaritmom od a. Kako a teži beskonačnosti tako teži i logaritam, a time teži ka beskonačnosti i površina. Iskazano jednačinom pomoću limesa:

f3

Reference:  Vikipedija

 


Dodaj komentar