Koju masu bi nebesko telo trebalo da ima kako bi se konačno formiralo u sferni oblik?

Pokušajmo da procenimo minimalnu masu M koju bi neko nebesko telo trebalo da ima kako bi došlo do njegovog topljenja tokom formiranja. U istopljenom obliku gravitacija će ga oblikovati u sferni oblik. U suprotnom, ukoliko je masa nedovoljna da bi došlo do topljenja, telo može da ima nepravilan oblik. Odmah da naglasimo da nas ovde interesuje samo red veličine mase tela, odnosno njegovog odgovarajućeg poluprečnika, te će u računu biti izvršene odgovarajuće aproksimacije.

Molekul mase m koji dospeva na telo mase M (usled gravitacione interakcije sa telom) će imati kinetičku energiju približno jednaku  , gde R karakteriše dimenzije tela ( to je njegov poluprečnik, ako je u pitanju sferni oblik), a y je univerzalna gravitaciona konstanta  (  ) . Dakle, kinetička energija molekula u trenutku dospeća na površinu tela odgovara po apsolutnoj vrednosti potencijalnoj gravitacionoj energiji interakcije molekula i tela. Ova kinetička energija, E_k , se u trenutku sudara molekula i tela može (usrednjeno gledajući ) izraziti na osnovu Bolcmanove jednačine kao

gde je T - odgovarajuća termodinamička temperatura, a k - Bolcmanova konstanta (). 

Imajući u vidu prethodnu relaciju, mi želimo da nađemo takvu vrednost mase M nebeskog tela koja će biti dovoljna da generiše dovoljno visoku temperaturu T kako bi došlo do topljenja materijala (sudari molekula i tela, kao i međusobni sudari molekula tela bi na slučajan način raspoređivali ovu energiju u svim pravcima i ona bi se manifestovala kao toplota nebeskog tela kao celine). 

Pretpostavićemo da mi znamo temperaturu Tu smislu da ona odgovara temperaturi topljenja materijala od kojeg je nebesko telo načinjeno ( npr. T≈2000 K  za silicijum dioksid, SiO₂, kao sastavnu komponentu stenovitog materijala od kojeg može biti načinjeno telo). 

Takođe, prilikom izračunavanja brojčane vrednosti mase nebeskog tela M, uzećemo za vrednost mase molekula m tipičnu vrednost mase koja odgovara masi molekula SiO₂ od kojih je izgrađeno stenovito telo (). Potrebno je još da znamo gustinu materijala od kojeg je izgrađeno nebesko telo, i za koju ćemo uzeti tipičnu vrednost gustine stene ().

Dalje, za telo približno sfernog oblika važi jednostavna relacija za gustinu:

Rešavajući prethodnu relaciju po R i zanemarujući numerički faktor , važi:

Ubacujući izraz (2) u relaciju (1), sledi:

Odavde, opet uz zanemarivanje numeričkog faktora 3/2 , jer nas samo interesuje red veličine mase M, dobijamo:

Rešavajući prethodni izraz po M, imamo:

Konačno nam preostaje da još ubacimo sve numeričke vrednosti ( koje smo već naveli u tekstu ) u prethodni izraz, te dobijamo za minimalnu masu tela da bi ono imalo sferni oblik:

Ovo je vrednost koja iznosi oko 5% mase Meseca.

Vraćajući se sa ovom vrednošću () u relaciju (2), nalazimo da bi red veličine poluprečnika tela koje bi imalo sferni oblik bio:

odnosno iznosio bi nekoliko stotina kilometara.

Dobijene vrednosti zavise od pretpostavke da je nebesko telo izgrađeno od silikatnih stena. 

Zašto planete nisu kockaste nego loptaste?

Author: Dušan Mrđa

Dr Dušan Mrđa, redovni profesor na Prirodno-matematičkom fakultetu u Novom Sadu. Istaknuti naučnik srednje generacije. Objavio velik broj radova u prestižnim stranim stručnim i naučnim časopisima.