Januara 2001. godine dr Zoran Knežević, akademik, višegodišnji direktor Astronomske opservatroije Beograd, napisao je za Astronomski magazin članak koji ovde, ponovo objavljujemo.

1. Uvod

Danas, na samom početku novog veka i milenijuma, možda je pravo vreme da se "podvuče crta" i da se sumiraju naučni rezultati i dostignuća, odnosno da se definiše ono sto predstavlja istorijsku dimenziju, savremeni trenutak i pravce budućeg razvoja jedne klasične naučne oblasti kao sto je nebeska mehanika. Ovaj kratki napis nema naravno ambicija da na apsolutno precizan i sveobuhvatan način predstavi čitavu oblast i ukupan postignuti napredak, već da predoči jedno lično, dakle neminovno i subjektivno, viđenje stanja i trendova u oblasti; namera autora je bila da se to u tekstu koji sledi ostvari na razumljiv način, blizak svakom zainteresovanom i bar donekle upućenom čitaocu, svesno rizikujući pri tom da se učine izvesni propusti i uvedu neka neizbežna pojednostavljenja.

2. Predmet izučavanja

Nebeska mehanika je nauka koja se bavi izučavanjem kretanja nebeskih tela, u prvom redu članova našeg planerskog sistema - velikih planeta, asteroida (malih planeta), kometa i meteora. U užem smislu, pod tim nazivom podrazumeva se skup analitičkih metoda za određivanje kretanja, ili preciznije, promena putanjskih elemenata (1) nekog nebeskog tela u vremenu, dok se odgovarajuće numeričke procedure izučavaju u okviru tzv. teorijske astronomije. Premda je ovakva podela u prošlosti imala izvesnog osnova, naročito sa stanovišta praktične primene i u edukativnoj sferi, može se slobodno reći da je ona danas skoro u potpunosti prevaziđena. Kompjuterska revolucija omogućila je spektakularan napredak posebno numeričkih tehnika, ali i razvoj i stalno usavršavanje kombinovanih - semianalitičkih, odnosno seminumeričkih metoda, tako da je granica između ovako, prevashodno metodološki, razdvojenih oblasti skoro sasvim nestala. Ako tu dodamo i činjenicu da su se iz klasičnih disciplina poslednjih decenija razvile značajne specijalizovane oblasti, kao što su galaktička  i zvezdana dinamika ili teorija kretanja veštačkih satelita, onda možemo reći da je savremena nebeska mehanika, u stvari, deo šireg konglomerata naučnih disciplina, koje jednim imenom možemo nazvati dinamičkom astronomijom.

3. Istraživači

Čovek se za kretanje nebeskih tela interesovao još od najstarijih vremena, valjda još od momenta kada je po prvi put racionalno artikulisao svoju radoznalost u odnosu na svet koji ga okružuje. Za potrebe ovog kratkog osvrta mi ćemo pomenuti samo jedan mali broj ljudi čiji se doprinos razvoju nebeske mehanike svakako može smatrati značajnim, a u nekim slučajevima i presudnim.

Kopernik Nikola (Copernicus, Nicolaus) poljski astronom, (1473-1543)	Kepler Johan (Johannes Kepler) - nemački astronom i matematičar, (1571-1630)	Njutn Isak (Isaac Newton) - engleski astronom, fizičar i matematičar (1642-1727)

Pođimo, dakle, od Kopernika, Keplera i Njutna čiji su heliocentrični sistem, zakoni planetskog kretanja i zakon univerzalne gravitacije postavili temelje ne samo nebeske mehanike, nego i nauke i racionalne ljudske spoznaje uopšte. Kraj XVIII i prva polovina XIX veka obeleženi su radovima Laplasa, Lagranža i, nešto kasnije, Gausa; prva približna rešenja jednačina planetskog kretanja, linearna teorija sekularnih poremećaja i metode za određivanje putanjskih elemenata iz posmatranja samo su neki od najznačajnijih rezultata iz tog perioda koji se i danas primenjuju u praksi. Druga polovina XIX veka vreme je daljeg razvoja i usavršavanja klasičnih teorija, ali i početak suštinskog preispitivanja i dubokog poniranja u samu prirodu kretanja i njegovu stabilnost; Leverje, Tiseran, Njukomb i Hil su neka od najvećih imena toga doba, čiju krunu nesumnjivo predstavljaju radovi Poenkarea (da pomenemo samo njegov originalni dokaz neintegrabilnosti sistema diferencijalnih jednačina kretanja nebeskih tela). Birkhof, Kolmogorov, Arnold, Mozer i Ljapunov su naučnici koji se nisu bavili neposredno i isključivo samom nebeskom mehanikom, ali čije su ideje i radovi presudno uticali na njen savremeni razvoj, na konačno oblikovanje novog pogleda na prirodu kretanja nebeskih tela i na formulisanje čitavog niza novih metoda za izučavanje tog kretanja. Konačno, početkom savremenog perioda mogao bi se nazvati period 60-tih godina XX veka kada je, radovima Deprija i Horija, uveden u praksu formalizam klaoničkih transformacija jednačina kretanja zasnovanih na redovima Lija. Kraj veka obeležili su brojni i značajni radovi većeg broja naučnika, koji pripadaju, uslovno rečeno, različitim  "školama" - evropskoj (Kontopulos, Kolombo, Roj, Enrar, Fresle, Feraz-Melo, Laskar, Milani, Sofel, K.Marej...), japanskoj (Hagihara, Hori, Kozai, Kinosita, ...)  i američkoj (Bruver, Sebehelji, Bruke, Visdom, Barns, Tremen, ...). Mlade snage na velikoj svetskoj  sceni nebeske mehanike u ovom trenutku predvode Morbideli, N. Marej, Holman, Levison, Klioner, Breiter i dr.

4. Gde smo mi?

Milutin Milanković,  (1879 - 1958)

Slobodno se može reci da su malobrojni srpski nebeski mehaničari u razvoju ove nauke odigrali dosta zapaženu ulogu, naravno, zahvaljujući pre svega akademiku Milutinu Milankoviću. Njegovo grandiozno naučno dostignuće - astronomska teorija ledenih doba, je, doduše, tipično multidisciplinarno delo, ali su i osnovna ideja i tehnički dokaz zasnovani pre svega na klasičnom nebesko-mehaničkom aparatu. Milanković je dugo godina na beogradskom univerzitetu predavao nebesku mehaniku, a napisao je i dva izuzetna udžbenika iz te oblasti koji su i danas u upotrebi.

Posle Milankovića treba svakako pomenuti akademika Vojislava Miškovića, profesore Jovana Simovljevića, Jovana Lazovića i Bozidara Popovića, zatim aktuelne univerzitetske predavaće, profesore Mikea Kuzmanoskog i Iliju Lukačevića, naše ljude koji su u raznim periodima otišli u inostranstvo, doktore Petra Muzena, Radmila Đorđevića i Zlatka Catovića i konačno istraživaće sa Astronomske opservatorije Milorada Protića, magistre Vojislavu Protić-Benišek, Dragomira Olevića, Boru Jovanovića, Radeta Pavlovića i konačno, autora ovog teksta.

5. Priroda kretanja

Dugo se verovalo da je kretanje nebeskih tela u suštini determinističko, tj. da se odvija u skladu sa zakonima koji se mogu izraziti preciznim matematičkim jednačinama sa konačnim rešenjima; prema tom konceptu kretanje se može apsolutno tačno odrediti; potrebno je samo da se znaju ta konačna rešenja jednačina kretanja i da se raspolaže dovoljno tačnim početnim uslovima, tj. položajima nebeskih tela u nekoliko poznatih vremenskih trenutaka ili intervala. Ovakvo verovanje bilo je utemeljeno na prvobitno dosta uspešnom i jednostavnom predstavljanju kretanja pomoću Keplerovih i Njutnovih zakona, odnosno uprošćene teorije poremećenog kretanja, ali i na nedovoljnoj tačnosti posmatranja, zbog čega nije bilo moguće utvrditi bitnija odstupanja stvarnog kretanja nebeskih tela od onog predviđenog računskim putem. Smatralo se otud da je, stalnim usavršavanjem teorije poremećenog kretanja i unapređenjem tačnosti posmatranja, moguće doći do tačnih rešenja koja bi važila za sva vremena.

Prvo je, naravno, praksa poljuljala opisano verovanje. Sve veća odstupanja sve tačnijih posmatranih i odgovarajućih računatih položaja, problemi sa nalaženjem konačnih rešenja za precizno određivanje kretanja u dugim vremenskim intervalima, sa dokazivanjem stabilnosti tog kretanja i sl. doveli su do toga da se klasična rešenja dovedu u pitanje i preispitaju sa sasvim novih stanovišta. Iako je već znatno ranije utvrđeno da je broj poznatih integrala sistema diferencijalnih jednačina kretanja u problemu N tela (vidi kasnije) nedovoljan da se nađu konačna rešenja, prelomni period u tom smislu za nebesku mehaniku nastupio je tek krajem XIX i početkom XX veka.

Zadržimo se samo na već pomenutoj Poenkareovoj demonstraciji neintegrabilnosti jednačina kretanja, što u suštini predstavlja dokaz da naprosto nije moguće naći rešenja jednačina kretanja u konačnoj formi. Sam po sebi, ovaj dokaz još uvek ne znaći da stvarno kretanje nebeskih tela nije determinističko, već da je možda samo naš matematički aparat nedovoljno savršen da bi potpuno i taćno obuhvatio svu kompleksnost planetske dinamike. Ipak, činjenica da je Poenkareov dokaz zasnovan na neizbežnoj divergenciji razvoja tzv. funkcije poremežaja (2) u red, zbog postojanja tzv. malih imenilaca (3), dovela je na kraju i do pokušaja da se iz "ćorsokaka" izađe novim promišljanjem same prirode kretanja i dovođenja u sumnju do tada vladajućeg determinističkog koncepta.

Albert Ajnstajn (Albert Einstein) - (1879-1955)

Ne treba ni pominjati kakvu je revoluciju u nauci uopšte izazvala pojava Ajnštajnove teorije relativnosti, formulisane u specijalnoj i zatim i opštoj formi početkom XX veka. Poznato je, takođe, da je kao jedan od glavnih dokaza u prilog ove teorije često navođeno uspešno objašnjene anomalnog kretanja Merkurovog perihela, koje nije moglo biti protumačeno samo na osnovu prilaza i metoda klasične nebeske mehanike. Mi se, međutim, ovde nećemo suviše zadržavati na ovoj teoriji naprosto zato što je o njoj toliko toga već napisano i što je sve to sigurno dobro poznato iole upućenijem čitaocu; staviše, teorija relativnosti nije u samoj nebeskoj mehanici ostavila naročito dubokog traga, jer su relativističke popravke u kretanju tela u našem planetskom sistemu uglavnom zanemarljivo male. Može se, dakle, reci da je teorija relativnosti za nebesku mehaniku značajna pre svega po tome što je označila definitivan raskid sa starim načinom razmišljanja o prirodi prostora-vremena i kretanja, a ne toliko po neposrednim primenama u naučnoj praksi. U poslednje vreme stvari se doduše menjaju: sa porastom tačnosti određivanja položaja i računa orbita i produžavanjem vremenskih intervala obuhvaćenih tim računima, sve češće se uzimaju u obzir i relativistički efekti. Javlja se i čitava nova naučna oblast - relativistička nebeska mehanika (Brumberg, Sofel, Robutel i dr. spadaju među najpoznatije istraživaće u novoj oblasti), ali se ipak sve to dešava na margini glavnih zbivanja i aktuelnih tokova u oblasti.

Novi koncept prirode kretanja nebeskih tela ustanovljen je u formalnom smislu u drugoj polovini XX veka, kada su nagli razvoj i masovna upotreba kompjutera omogućili računanje promena elemenata kretanja u veoma dugim vremenskim intervalima (trenutno se radi o stotinama miliona godina), odnosno izučavanje dinamičke evolucije u periodima u kojima suptilni i dotada neuhvatljivi fenomeni iskazuju svoje kumulativno "makro-dejstvo". Znatno bolja tačnost posmatračkih podataka omogućila je, sa svoje strane, merenje i analizu veoma malih poremećajnih efekata i sve bolje razumevanje složenosti kretanja na "mikro-nivou" (tj. daleko ispod praga tačnosti ranijih teorija). Teorijski temelji novog koncepta tzv. haotičnog kretanja, udareni su u pionirskim radovima Kolmogorova, Mozera i naročito, kada je nebeska mehanika u pitanju, Arnolda, dok je rodonačelnik praktičnih metoda za detektovanje i "merenje" haosa svakako Ljapunov čiji maksimalni karakteristični eksponenti (4) i danas predstavljaju najpouzdanije i najčešće korišćene indikatore haotične prirode kretanja, ali i parametre pomoću kojih se mogu upoređivati haotična stanja i meriti njihov relativni "intenzitet". Ne ulazeći ovde u analizu i objašnjavanje komplikovanih matematičko mehaničkih postulata, ograničićemo se, za potrebe ovog pregleda, na jednu pragmatičnu definiciju haotičnog kretanja. To bi, dakle, bilo takvo kretanje koje se ne može sa potrebnom tačnošću ni kvalitativno predvideti, ni kvantitativno precizno odrediti, naročito u dužim vremenskim intervalima. Drugim rečima, radi se o tome da je kretanje svih nebeskih tela, pa tako i tela u našem planetskom sistemu, u suštini haotično, ali se makroskopski efekti haosa ne moraju, u svakom slučaju i u svakoj prilici, neposredno uočavati. Otuda   kretanje određeno sa nekom manjom tačnošću može da izgleda kao potpuno regularno i odredivo. Danas se, u praksi, kretanje čija je haotična komponenta ispod praga tačnosti sa kojom možemo ili želimo da odredimo to kretanje jednostavno naziva "stabilnim" i za njegovo određivanje se koriste klasične metode. S druge strane, međutim, razvijen je čitav arsenal novih metoda koje se u savremenoj nebeskoj mehanici koriste upravo za izučavanje haotičnih dinamičkih fenomena.

6. Sile

U klasičnoj nebeskoj mehanici kretanje svih tela, sa izuzetkom kometa, razmatrano je uvek i samo u okviru tzv. gravitacionog problema N tela, u kojem je jedina sila koja deluje među telima (tačkastim masama) njutnovska privlačna sila, proporcionalna proizvodu masa tela i obrnuto proporcionalna kvadratu njihovog međusobnog rastojanja. Obično se u modelima planetskog sistema uzimalo da je N<=10 (Sunce i određeni broj velikih planeta), a zanemarivan je uticaj tela male mase - satelita, asteroida, kometa i sl. Ovaj uprošćeni prilaz bio je moguć, jer su svi ostali uticaji (kao što su uticaji negravitacionih sila, popravke zbog konačnih dimenzija tela, relativistički efekti i dr.) i po više redova veličine manji od gravitacionih. Tako je npr. uticaj spljoštenost planeta na kretanje ostalih planeta neznatan, jer one nikada ne prilaze jedne drugima na rastojanja manja od nekih 10 000 planetskih radijusa - otuda su njihove dimenzije uopšte, a pogotovo odstupanja njihovih oblika od idealne sfere, sasvim zanemarljivi u odnosu na njihova međusobna rastojanja; relativistički efekti su reda veličine odnosa Sunčevog gravitacionog radijusa (~1.4 km) i rastojanja datog tela od heliocentra, što čak ni u slučaju Merkura ne premašuje jedan desetmilioniti deo Sunčevog privlačnog dejstva, itd.

Ipak, vrlo brzo je postalo jasno da sam klasični prilaz i samo sila gravitacije nisu dovoljni da se objasne svi posmatrani dinamički fenomeni i dobro poznate "anomalije" u kretanju tela u planetskom sistemu, za koje ponekad čak nije bila neophodna ni naročito velika preciznost merenja položaja da bi se sa sigurnošću moglo utvrditi njihovo postojanje. Bilo je, dakle, potrebno pronaći nove odgovore, identifikovati nove sile i njihovim delovanjem objasniti uočene efekte.

Prvi primer uspešnog objašnjenja anomalija u kretanju tela u planetskom sistemu postojanjem merljivih negravitacionih efekata, predstavlja kretanje kometa. Putanje kometa najčešće su veoma izdužene (ekscentrične) elipse, koje se prilikom prolaza komete kroz perihel bitno menjaju, tako da ponekad čak mogu da izgledaju i kao hiperbolične. Jezgra kometa, tipično 1 - 10 km u prečniku, predstavljaju neku vrstu konglomerata leda i silikatnih čestica; prilikom bliskog prolaza komete pored Sunca jezgro se zagreva, led isparava, pa se nastali gas, zajedno sa česticama prašine, oslobađa da bi se, pri tom, formirali koma i rep komete. Dinamička reakcija jezgra na izbacivanje gasa je promena brzine i pravca kretanja, dakle promena putanje. Iako ima dosta pokušaja da se ovi efekti na određeni način modeliraju i predvide, rezultati su uglavnom samo kvalitativno primenljivi. Tako zbog veće količine gasa koji se stvara na strani jezgra okrenutoj Suncu, sila reakcije ima radijalnu komponentu orijentisanu u smeru od Sunca, ali se javlja i značajna transverzalna komponenta usled rotacije jezgra i termičke inercije zbog koje pravac maksimalnog intenziteta izbacivanja gasa odstupa od subsolarnog meridijana. Kvantitativno međutim, pre prolaza kroz perihel, moguće je samo grubo proceniti očekivane efekte, dok se stvarna veličina efekata određuje tek nakon prolaza komete kroz perihel i njenog udaljavanju od Sunca (kada isparavanje prestaje), iz poređenja "stare" i "nove" putanje.

I dok se kretanje velikih tela u planetskom sistemu, dakle samih planeta, njihovih prirodnih satelita i većih asteroida, može opisati sa dovoljnom tačnošću i kada se uzmu u obzir samo gravitacione interakcije, ova aproksimacija više ne važi za mala tela do ~ 1 m u prečniku. Tako npr. fotoni i čestice koje Sunce izrači u međuplanetarni prostor bivaju apsorbovani ili rasejani na česticama međuplanetarne prašine, što proizvodi silu koja deluje na ove poslednje. Čestice u planetarnim prstenovima izložene su osim toga i dejstvu magnetnog polja i radijacije matičnih planeta, što dodatno komplikuje njihovo kretanje. Zajedničko svim negravitacionim silama je da su proporcionalne poprečnom preseku čestica, odnosno malih tela, što znači da su odgovarajuća ubrzanja obrnuto proporcionalna veličini tela. Tu se mogu ubrojati sila pritiska Sunčevog zračenja, zatim Pointing-Robertsonov efekat (nastaje usled anizotropne reemisije apsorbovanog zračenja od strane samog malog tela) i efekat Jarkovskog - sila koja se javlja zbog razlika u temperaturi pojedinih delova površine tela (strana okrenuta Suncu je toplija i zraci u okolni prostor više akumulirane toplote). Bez ulaženja u detaljnija teorijska razmatranja, ilustracije radi, navedimo ovde samo jedan podatak - efekat Jarkovskog, napr., kod tipičnog asteroida od 10 km u prečniku (u zavisnosti od termičkih osobina tela, brzine rotacije i orijentacije ose rotacije, kao i udaljenosti tela od Sunca), može da dovede do sekularne promene velike poluose putanje asteroida od nekih 1,5 miliona km (0.01 AJ) u periodu od nekoliko stotina miliona godina. To je sasvim dovoljno da telo iz oblasti stabilnog kretanja, u kojem se moglo nalaziti i više milijardi godina, pređe u neku susednu haotičnu oblast i da, zahvaljujući haotičnoj difuziji i ubrzanoj dinamičkoj evoluciji, u relativno kratkom vremenskom intervalu bude čak izbačeno iz Sunčevog sistema.

Konačno, čestice u interplanetarnom prostoru imaju električni naboj, zahvaljujući jonizujućem dejstvu Sunčevog ultraljubičastog zračenja, odnosno usled pojave diferencijalnog toka elektrona i jona u plazmi. Naboj u spoljašnjem magnetnom polju proizvodi Lorencovu silu, no ta je sila relevantna samo za mikroskopske čestice.

7. Trendovi

Nas planetski sistem, sa mnoštvom različitih tela i čitavim spektrom osobina njihovih kretanja je poput velike prirodne laboratorije u kojoj se istovremeno odvijaju brojni dinamički eksperimenti. Zato je vrlo teško sa sigurnošću predvideti u kom pravcu će se kretati razvoj savremene nebeske mehanike i dinamičke astronomije u celini i koji će se to problemi naći u žiži naučnog interesovanja u narednim godinama. Ipak ovde ćemo pokušati da skiciramo neke mogućnosti i pomenemo izvesne naučne probleme i istraživačke trendove, koji će verovatno biti aktuelni bar u nekoliko narednih godina.

Jedan od izazova koji već dugo stoji pred nebeskom mehanikom je svakako konačno dokazivanje dinamičke stabilnosti Sunčevog sistema u celini u vremenskim intervalima reda veličine njegovog "životnog" veka (dakle, u periodu od nekih 10 milijardi godina). Nagli razvoj računara koji će već u ovoj deceniji najverovatnije omogućiti numeričke integracije u periodima tog reda veličine i primena brzih i tačnijih metoda i algoritama za efektivno provođenje takvih integracija, trebalo bi da obezbede praktičan dokaz onoga što, iz činjenice da su planete tu gde jesu vise milijardi godina, intuitivno na izvestan način već znamo, tj. da je Sunčev sistem makroskopski stabilan i da su vremena u kojima bi haotična difuzija mogla dovesti do drastičnih poremećaja u kretanju velikih planeta duža od njegovog životnog veka. Moguće je da će ova stabilnost, bar u nekoj približnoj varijanti i za pojednostavljeni dinamički model sistema biti i formalno dokazana u okviru neke od modernih teorema analitičke mehanike (KAM teoreme, teoreme Nekoroseva i sl.).

Dalji razvoj poznatih analitičkih metoda nebeske mehanike sve više će se zasnivati na tzv. algebarskoj manipulaciji jednačina kretanja i njihovih partikularnih rešenja. Takođe će se nastaviti razvoj novih metoda i matematičkih alata za sve efikasnije i tačnije opisivanje bitnih ("srednjih") karakteristika kretanja u sve dužim vremenskim intervalima, kao i za sve bolje i efikasnije korišćenje posmatračkih podataka, sve tačnije određivanje putanja tela i sve racionalnije planiranje posmatranja. Naročito će se raditi na unapređenju teorije kretanja veštačkih satelita, radi realizovanja sve složenijih istraživačkih misija u Zemljinom okruženju (novi svemirski teleskopi, in-situ istraživanja Marsa, asteroida i kometa itd.)

Rezonance i haos (identifikovanje i merenje haotičnih ponašanja) će sigurno i u narednim godinama biti u centru pažnje, negravitacioni efekti i njihovo modeliranje, dinamika ekstrasolarnih planetskih sistema i još mnogo toga izazivaće radoznalost i zaokupljaće pažnju budućih istraživača.  Savremenim nebeskim mehaničarima ostaje zadovoljstvo da novim generacijama ostavljaju živu, zanimljivu i razgranatu naučnu oblast, primerenu novim izazovima i vremenu koje dolazi.

(1) Putanjski elementi su parametri pomoću kojih se opisuju putanje po kojima se kreću nebeska tela. Najčešće se koriste tzv. keplerovski eliptični elementi (npr. velika poluosa, ekscentričnost, nagib pucanjske ravni, argument pericentra, longituda čvora i srednja anomalija), ili pravougle koordinate (po tri komponente vektora položaja i brzine).

(2) Funkcija poremećaja je potencijal, čiji se parcijalni izvodi po koordinatama (elementima kretanja) javljaju na desnim stranama diferencijalnih jednačina kretanja. Skoro sve analitičke metode rešavanja sistema jednačina kretanja zasnivaju se na nekom tipu razvoja funkcije poremećaja u red. Klasično rešenje koristi razvoj funkcije poremećaja u trigonometrijski (kosinusni) red po uglovnim elementima (npr. argumentu perihela, longitudi čvora i srednjoj anomaliji), gde su amplitude članova razvoja predstavljene stepenim redovima po ekscentričnosti i nagibu, a čije su amplitude, sa svoje strane, linearne kombinacije tzv. Laplasovih koeficijenata i njihovih izvoda koji zavise od odnosa velikih poluosa putanja poremećenog i poremećenog tela.

(3) Kada se jednačine kretanja integrale da bi im se našlo rešenje, u imeniocima amplituda trigonometrijskih članova razvoja funkcije poremećaja u red javljaju se linearne kombinacije tzv. srednjih kretanja, koja su sa svoje strane funkcije samo velikih poluosa planetskih putanja (veza je izražena poznatom Keplerovom jednačinom).  Ako su velike poluose posmatranih tela takve da su im srednja kretanja samerljiva (komenzurabilna), odgovarajuća njihova kombinacija postaje vrlo mala, amplituda odgovarajućeg člana funkcije poremećaja postaje vrlo velika i taj će član davati nesrazmerno uvećan, često i dominantan doprinos ukupnom rešenju; u takvim slučajevima kažemo da se telo nalazi "u rezonanci".

(4) U praksi se haotičnost neke putanje određuje na osnovu brzine kojom se razilaze dve inicijalno bliske putanje. Ako je divergencija putanja, izražena nekom pogodnom metrikom u faznom prostoru elemenata kretanja, spora ili je metrika stacionarna, kretanje je stabilno, a ako je eksponencijalno rastuća, kretanje je haotično. Maksimalni karakteristični eksponenti Ljapunova predstavljaju granične vrednosti eksponenata kojima se izražava haotični rast metrike. Tzv. vreme Ljapunova je obrnuto proporcionalno maksimalnom eksponentu i predstavlja vreme za koje se rastojanje između dve inicijalno bliske putanje poveća exp(1) puta.