DANAS (14. marta) JE JUBILARNA 30-GODIŠNJICA DANA PI! Znaš ono: mart 14, 3/14, što treba ove s klikerom da asocira na 3,14. Ja se nikad ne bih setio da nema Googlea, ali ja jedva slavim i svoje rođendane. Ipak, ovo je možda zgodna priča da kažemo nešto o ovom fenomenu kogi buši mozgove ljudi najmanje 4000 godina.

Priča počinje ovako: ako imaš kružnicu, možeš da izmeriš dve stvari: obim kruga i udaljenost kružnice od centra. Bez obzira koliki je krug, odnos obima i prečnika uvek daje broj koji iu poslednja dva veka zovemo prema grčkom slovu pi (π). On ima jedni gadnu osobinu a to je da ga je nemoguće napisati – beskonačan je! Koliko god da si pametan ili vredan, vidiš samo njegov beznačajno mali deo!

Najprostija aproksimacija broja pi je samo – 3. Da, svi znamo da je to netačna vrednost, ali ti je za početak i to dosta, jer je greška ispod 5%. Zapravo, u mnogim starim udžbenicima matematike piše da je pi jednako 22/7. Ponovo je to samo gruba aproksimacija, ali je bliža tačnom rezultatu nego 3,14.

Ima na silnim sajtovima bezbroj načina da sam izračinaš brdo decimala broja pi, ali meni je ovaj najinteresantniji. Preko 'WolframAlphe' sam našao da je lokalna gravitaciona konstanta za Novi Beograd 9,8082 m/s². Ako iz ovog broja izvučeš kvadratni koren, dobićeš broj 3,131804. To je samo ~0,3% manje od precizne vrednosti π – i to nije slučajnost! To potiče od originalne verzije metra kao jedinice za dužinu. Jedan od načina da se definiše metar je da se napravi klatno koje će za 1 sekundu da jednu kretnju od kraja do kraja (ili 2 sec za jedan period). Ko se sećapostoji relacija između perioda i dužine klatna:

Unesi 1 metar za dužinu i 2 sekunde za period, i buum – dobijamo ono što nam treba. Ko voli, ovde je dato detaljnije objašnjenje.

Pre nego što pređem na istorijski deo, koji je zapravo samo poglavlje iz naše neobjavljene knjige, da kažem još jednu zanimljivost. Recimo, zamisli veliku loptu. Ako znaš njen prečnik, lako ćeš (relativno) pronaći njen obim samo ako koristiš broj π. Sada zameni prečnik svoje lopte sa prečnikom vidljivog univerzuma koji (kažu) iznosi 93 milijarde svetlosnih godina (da, znam da je to malo veće od 13,8 milijardi svetlosnih godina – ali to je malo komplikovanije). Ako ne znamo tačnu vrednost π već samo prve 152 decimale, onda nećemo biti u stanju da izračunamo tačan obim. Međutim, neodređenost obima je manja od Plankove dužine – najmanje merljive dužine koja ima ikakvog smisla[1]. Potrebno je taman toliko decimala broja pi da bi neodređenost obima univerzuma bila manja od veličine atoma.

U malo poznatom biblijskom pevanju (I Kraljevi, 7,23), u opisima planova za izgradnju čuvenog Solomonovog hrama 950. godine pre Hrista, pominje se livenje velikih, okruglih, bakarnih obrednih posuda i tu se pominje broj pi, za čiju vrednost je tada uzet broj 3. Kao ni danas, ni u to vreme ovo nije predstavljalo osobito preciznu vrednost, budući da su još drevniji egiptski i mesopotamijski graditelji baratali vrednostima ²⁵/₈ = 3,125, ali ovim majstorima je i to bilo dovoljno jer su odlivci bili tolikih dimenzija da im preciznija vrednost i nije bila potrebna.

Činjenica da je odnos obima kruga i njegovog prečnika konstantan, bila je poznata ljudima dokle god seže pisana istorija unazad. Najranije vrednosti broja π, uključujući i navedenu ”biblijsku”, skoro sigurno su dobijene prostim merenjima. U poznatom egipatskom matematičkom manuskriptu koji se čuva u Britanskom muzeju, ”Rindovom papirusu”, nastalom oko 1650 p.n.e., navedena je vrednost π = 4 (⁸/₉)² = 3,16.

Veruje se da je prvo teorijsko izračunavanje vrednosti π izveo Arhimed iz Sirakuze u III veku p.n.e. Dobio je (to smo već videli) sledeću aproksimaciju:

²²³/₇₁ < π < ²²/₇ (to je 3,1408 < π < 3,1429)

Treba odmah primetiti vrlo značajne okvire date nejednačine. Arhimed je znao ono što mnogi matematičari njegovog vremena nisu, a to je da π nije jednako ²²/₇.

Nije mogao da odredi pravu vrednost, ali ako bi izračunali njegovu predloženu srednju vrednost, dobili bi 3,1418, što predstavlja grešku od samo 0,0002.

Arhimed je svoj rezultat dobio upisujući i opisujući pravilne poligone od po 96 stranica oko date kružnice i, koristeći trigonometriju, upoređivao i merio njihove obime. Kasnije su matematičari za što preciznije izračinavanje koristili mnogouglove sa mnogo većim broj stranica:

Izuzimajući Cu Čung Čija[6], za koga sa velikom sigurnošću možemo da kažemo da nije poznavao Arhimedov rad, vidimo da sem veće izdržljivosti u računanju nema teorijskog napretka u samom načinu izračunavanja. I na ovom primeru, kao uostalom kod svih naučnih znanja, može da se prati kako je do XIV veka matematičko znanje putovalo iz Grčke i Egipta ka Istoku, a potom se preko radova islamskih naučnika vraćalo nazad u Evropu.

Renesansa je donela nove vetrove u jedra čitavog matematičkog sveta, a jedan od prvih napora je bio usmeren ka iznalaženju novih metoda za izračunavanje vrednosti broja π. Koliko se zna, prvi se u Evropi ovim problemom bavio 1593. francuski matematičar Fransoa Vijet. Jedan od najranijih sledećih pokušaja je bio onaj Džona Volisa (John Wallis^[7], 1616-1703), koji je 1655. godine ponudio aproksimaciju u vidu beskonačnog niza:

^π/₂ = ²/₁ × ²/₃ × ⁴/₃ × ⁴/₅ × ⁶/₅ × ⁶/₇ × ⁸/₇ × ⁸/₉ ...

Pronalaskom računa[8] (lat. calculisa), engleski naučnik i genije Isak Njutn i nemački matematičar i takođe genije Vilhelm Lajbnic su razvili brojne beskonačne nizove za aproksimaciju broja π. Recimo, Njutn je 1665. koristio arkus-sinusne nizove da bi dobio pi sa 15 decimala.

Ipak, tada najpoznatija formula je bila:

^π/₄ = 1 – ¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₉ + ...,

koja se pokatkad pripisuje Gotfridu Lajbnicu, mada ju je prvi "otkrio"^[9] škotski matematičar i fizičar Džems Gregori (James Gregory^[10], 1638-75). Obe ove zadivljujuće formule su po svom karakteru čisto aritmetičke, mada je problem iznalaženja vrednosti broja π u suštini geometrijskog karaktera. One pokazuju iznenađujuće rezultate koje mogu dostići proračuni beskonačnog i pružaju lepu sliku dostignuća moderne matematike. Broj pi je bio poznat sa 71 decimalom.

Matematičar Džejms Gregori i amater Vilijam Šenks.

U vezi sa samim rezultatom, precizna vrednost broja π nije niotkakve koristi. Ako bi, na primer, iz Gregorijevog niza zadržali samo prve 4 decimale, imali bi grešku manju od 0,00005, ili 1/20.000.

Godine 1706. engleski matematičar Džon Mekin (John Machin, 1680-1751) smislio je sledeću formulu:

^π/₄ = 4 arctg (¹/₅) – arctg (¹/₂₃₉)

Pomoću nje je bilo moguće dobiti mnogo tačniju vrednost broja π, sa više decimala – 100. Bilo je i tada ljudi koji su želeli da odvoje dovoljno vremena i energije za jedan u suštini dosadan i beskoristan posao. Jedan od njih je bio i slavni Ernest Raderford, koji je 1841. izračunao vrednost broja pi na 152 decimale, a 1853. na čak 440, dok je 1873. godine izvesni Vilijem Šenks (William Shanks[11], 1812-82), koristeći Mekinovu formulu, izračunao vrednost broja π do 707 decimale, želeći valjda da bar na taj način postane besmrtan.

Ubrzo posle Fon Lindemanovog proračuna i dokaza da broj π ne predstavlja rezultat nijedne jednačine sa racionalnim koeficijenata, svima je konačno postalo jasno da jedan od klasičnih problema starogrčke geometrije o ”kvadraturi kruga” predstavlja nemoguć posao i da nema tog lenjira i šestara kadrog da konstruiše kvadrat jednake površine sa zadatim krugom.

U svojoj knjizi iz 1872. godine engleski matematičar i logičar Augustus de Morgan (1806-71) je uočio da se u Šenksovom proračunu cifra 7 retko pojavljuje i to je ostalo tako sve do 1945. godine kada je utvrđeno da je Šenks napravio grešku kod 528. decimale i da su sve cifre posle toga pogrešne. Kada je kompjuter 1949. godine sračunao pi do 2.000. decimale, potvrdilo se da se statistički sve cifre pojavljuju u jednakom broju.

Da kažemo nešto i o samom simbolu π. Matematičar Outred[12] je 1647. godine koristio simbol d/n za odnos prečnika kružnice i njegovog obima, a Dejvid Gregori (1697) je koristio izraz n/r za odnos obima kruga i njegovog poluprečnika. Prvo korišćenje simbola u današnjem značenju pripisuje se velškom matematičaru Vilijemu Džonsu, koji je 1706. godine napisao 3,14159...itd = π. Švajcarski matematičar i fizičar Leonard Ojler (Leonhard Euler[13], 1707-83) prihvatio je taj simbol 1737. godine, i on uskoro postaje standard.

Ima i jedan statistički kuriozitet koji se naziva Bufonov eksperiment sa iglom, a koji je vezan za izračunavanje broja pi. Ako nacrtamo nekoliko paralelnih linija sa razmakom od k =1 i ako bacamo jednu iglu dužine k < 1 na tu mrežu linija, verovatnoća da će igla pasti na neku od njih iznosi 2k/n. Najznačajniji rezultat dobijen tim putem ostvario je 1901. godine Lazerini, koji je iz 34.080 bacanja igle dobio rezultat:

π = ³⁵⁵/₁₁₃ = 3,1415929

koji je identičan vrednosti koju je, kao što smo već pokazali, dobio već pomenuti Kinez Cu Čung Či čitavih 15 vekova pre toga.

Otvorena pitanja u vezi broja π

1. Da li se sve cifre od 0 do 9 pojavljuju beskonačno često?
2. Tzv. Brauerovo pitanje: da li postoji mesto u nizu decimala gde su hiljadu uzastopnih cifara nule?
3. Da li se određeni ”blokovi” cifara javljaju jednako često? Itd.

Navešćemo vrednost prvih 2.000 decimala broja pi dobijenih kompjuterom:

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089 986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502 84102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165 27120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817 488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943 305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489 12279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705 39217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173 63717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086 40344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950 24459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381 42061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217 122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886593615338182796823 03019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508 295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583 61603563707660104710181942955596198946767837449448255379774726847104047534646208 04668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558 76402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861
82974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236 48066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164 70600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385 23323907394143334547762416862518983569485562099219222184272550254256887671790494 60165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512 52051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471
2 371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759010 ...

Izračunavanje vrednosti broja π kroz istoriju

Napomena:

A) U davnim vremenima se nije shvatalo da su odnos površine kruga i njegovog poluprečnika, i odnos obima i prečnika kruga, zapravo jedna te ista stvar. Čak se u nekim starim tekstovima sreću dve različite aproksimacije za te dve ”različite” konstante. Naprimer, u jednoj sulbasutri, jednom od starih indijskih matematičkih tekstova, za odnos površine i poluprečnika dato je 3,088, dok je za odnos obima i prečnika dato 3,2.

B) U svojim slavnim ”Elementima”, knjiga XIII, deo 2, Euklid kaže:

”...Krugovi se odnose jedan prema drugom kao kvadrati njihovih prečnika.” Nikada nije pokušao da izračuna njihov odnos.

Kompjutersko izračunavanje broja π

Napomene:

• Ranije je izračunavanje broja π na mnogo decimala korišćeno za testiranja novih generacija kompjutera.
• Algoritam Baileya, Borweina i Plouffea, objavljen 1996. godine, omogućio je izračunavanje n-te heksadecimalne cifre broja n bez prethodnog iznalaženja cifre n-1.
• Matematičar Simon Plouffe je 1997. godine otkrio novi algoritam za izračunavanje n-te cifre broja pi.

Na koji način su se kroz istoriju računale decimale broja pi? Evo nekih "formula" koje su koristili tadašnji matenatičari. Ovo je formula koju je koristio Isak Njutn oko 1666. godine:

Sledi primer matematičara Roya Northa iz 1989. godine, koji je koristio Gregoryjev niz. Podvučene cifre su jedine pogrešne:

Braća David i Gregorije Čudnovski su 1989. koristili sledeću formulu:

... ne verujem da ikom ko ovo čita ovo ne znači mnogo, ali je lepo videti bar na trenutak nešto na šta su drugi ljudi potrošili godine rada i života. Sećam se da sam davno, pišući o pametnim a zaboravljenim matematičarima, pisao i o indijskom samoukom geniju, Srinivasanu Aijangar Ramanudžanu, koji je smislio desetine metoda za izračunavanje broja pi, a njegove formule i prečice su koristili (i danas koriste) skoro svi matematičari koji se bave ovom nepraktičnom ali očigledno izazovnom zabavom.

Pamćenje broja π

Svi koji reše da zapamte što veći broj decimala broja pi, bave se pifilologijom. Ja već decenijama znam desetak, ali me je na kvizu na Letenci pobedio momak koji je znao, čini mi se, 50! Ginisov rekord zvanično drži Indus Rajveer Meena koji je pre 3 godine za 9 sati i 27 minuta uspeo da izdeklamuje 70.000 cifara broja π. Ipak, nezvanični rekorder je Japanac Auira Haraguchi (1947.) koji drži u glavi 100.000 cifara[15]! Za diktiranje mu treba čak 16 časova! Japanac ima tehniku u kojoj svaka cifra ima svoju zamenu u slogovima pa on zapravo pamti priču ili pesmu, u kojoj svaka reč (sastavljena od slogova) predstavlja niz cifara.

[1] To je zapravo nešto najmanje što ima fizičkog smisla da se meri – iznosi recimo 1,6×10^-32 mm, odn. oko 10^-20 puta manje od veličine protona.

[2] Jedan od najvećih matematičara i astronoma islamskog sveta, Iranac Gijat al-Din Džamšid Masad al-Kaši (Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud al-Kashi, oko 1380-1429) iz Samarkanda. Za precizno izračunavanje veličine univerzuma bila mu je potrebna što tačnija vrednost broja π, pa je koristio pravilni poligon sa 3×2²⁸ stranica (805.306.368) i dobio vrednost nedostignutu u sledećih 200 godina. Rezultat je objavio 1429. godine u svom remek-delu ”Risala al-muhitiyya” (”Rasprava o obimima”).

[3] Francuski matematičar Fransoa Vijet (Franyois Viete), otac sistematskog algebarskog obeležavanja i teorije jednačina prvog, drugog, trećeg i četvrtog stepena. U knjizi objavljenoj 1593. godine izračunao je vrednost broja π koristeći poligon sa 6×2¹⁶ = 393.216 stranica.

[4] Belgijski jezuita Adrian fan Rumen (Adriaan van Roomen), profesor matematike i medicine i prijatelj Klaviusa, idejnog tvorca reformisanog Gregorijanskog kalendara. Godine 1593. je izračunao vrednost broja pi koristeći poligon sa 2³⁰ stranica.

[5] Veliki nemački inženjer i matematičar Ludolf fan Cojlen (Ludolph van Ceulen) izračunao je broj pi koristeći poligon sa 2⁶² stranica. Značajan deo života je proveo baveći se time, te je tražio da mu se na nadgrobni spomenik urežu tih 35 decimala koje je izračunao. U Nemačkoj se dugo, pa i kod nas, π nazivao i Ludolfov broj.

[6] Negde ga zovu i Zu Chongzhi. Uradio je dve aproksimacije broja π koje su bile najpreciznije tokom sledećih 9 vekova! Za račun je koristio mnogougao sa 3×2¹³ stranica. Da stvar bude veća, more međurezultata je pamtio pomoću hrpe drvenih štapića složenih prema posebnom redu.

  Izračunao je da Jupiterova godina (!) traje 11,858 naših godina, što je vrlo blizu današnjem rezultatu od 11,862 godine. Izračunao je i da naša godina traje 365,24281481 dan, što je užasno blizu današnjoj dužini od 365,24219878 dana. Čik ti izračunaj bar deo…

^[7] Najuticajniji engleski matematičar pre Njutna. Studirao radove Keplera, Toričelija, Dekarta i Robervala. Pisao je i o gramatici, logici, teologiji i kriptografiji. Nažalost, nama potpuno nepoznat...

[8] Fundamentalni matematički alat koji delima na diferencijalnu i integralnu granu. Otrili su ih nezavisno u XVII veku Njutn i Lajbnic, iako su izgleda bili poznati i u drevnoj Grčkoj, Kini, srednjem Istoku

[9] Kasnije je utvrđeno da je ovaj niz zapravo samo specijalan slučaj opštijeg niza inverznih tangentnih funkcija koje je prvi otkrio indijski matematičar iz XIV veka, Madhava iz Sangamagrama. Gregori je objavio ovu formulu 1671, a Lajbnic 1674.

^[10] Pronašao je reflektujući teleskop (1661), koji je opisao u svojoj knjizi ”Opticapromota” (1663). Tokom 1668. izabran za profesora matematike na Univerzitetu St. Endrews, a 1674. za profesora na Edinburškom Univerzitetu. Otkrio je fotometrički metod merenja udaljenosti zvezda, a njegova merenja udaljenosti Zemlje i Sunca će kasnije pomoći Edmundu Haleju za prvo uspostavljanje astronomske jedinice (a.j.).

[11] Šenksov broj je bio tačan samo do 527-og decimalnog mesta, što je otkriveno tek uz pomoć računara. Izračunao je na mnogo decimala i broj e, kao i Ojlerovu konstantu (j). Objavio je tablice prvih 60.000 prostih brojeva, prirodne logaritme za 2, 3, 5 i 10 do 137. mesta i vrednosti 2¹²ⁿ⁺¹ za n = 1, 2, 3,.. 60. Bio je matematičar-amater.

[12] Vilijem Outred, engleski matematičar XVII veka, koji je pronašao logaritmar, računsku spravu pomoću koje su se mogle obavljati osn. računske operacije i korenovanje, logaritmovanje i trigonometrijske funkcije, koja je bila nezamenjiv alat inženjera i matematičara sve do pred kraj XX veka. koristili su ga Tesla, Milanković, Openhajmer, Koroljev, Fon Braun, i svi drugi.

[13] Veliki matematičar, koji je 1733. nasledio Danijela Bernulija na sanktpeterburškoj Akademiji nauka. Razvio je teorije logaritamskih i trigonometrijskih funkcija, i unapredio kompletnu matematiku, i smatra se jednim od najvećih matematičara u istoriji. Uveo je mnoge simbole: Σ za sumu, e za osnovu prirodnog logaritma, f(x) za funkciju, i za koren iz -1, a, b i c za strane trougla, itd.

[14] To su zapravo dva brata, matematička genijalca, David i Gregorije, kijevski Jevreji, koji su na jedvite jade pobegli 1978. godine iz SSSR u Njujork, iako im je KGB pretio, tukao ih i preventivno uhapsio roditelje. Kao i svi kapaciteti za matematiku, uskoro po dolasku okušavaju se na Wall Streetu, gde unose revoluciju.

  Upisavši se na Kolumbiju, uskoro kod kuće prave super-kompjuter nazvan ”m-zero” za svega $100.000. Cilj im je bio da pobede u međunarodnom takmičenju u izračunavanju vrednosti broja pi. Godine 1991. izračunavaju broj na 2.260.321.363 decimala (kada bi se pisalo običnim fontom, red cifara bi bio dugačak od Beograda do Grenlanda). Postigavši rekord, posvetili su se raznim patentima.

  Godine 1992. časopis ”New Yorker” je objavio mišljenja vodećih matematičara sveta da je Gregorije jedan od najvećih živih matematičara, a 1995. prestižni američki časopis ”Esquire” uključuje braću među 100 najpametnijih ljudi na svetu. Gregorije boluje od jedne vrste progresivne paralize i trajno je vezan za krevet.

[15] Od 10 rekordera, prvih 8 su Azijati!

Author: Draško Dragović

Dipl inž. Drago (Draško) I. Dragović, napisao je više naučno popularnih knjiga, te više stotina članaka za Astronomski magazin i Astronomiju, a učestvovao je i u nekoliko radio i TV emisija i intervjua. Interesuje ga pre svega astronautika i fizika, ali i sve teme savremenih tehnologija XXI veka, čiji detalji i problematika često nisu poznati široj čitalačkoj publici. Izgradio je svoj stil, lak i neformalan, često duhovit i lucidan. Uvek je spreman na saradnju sa svojim čitaocima i otvoren za sve vidove komunikacije i pomoći. Dragovićeve najpoznatije knjige su "KALENDAR KROZ ISTORIJU", "MOLIM TE OBJASNI MI" i nova enciklopedija "NEKA VELIKA OTKRIĆA I PRONALASCI KOJA SU PROMENILA ISTORIJU ČOVEČANSTVA"

Zadnji tekstovi:

• 2011-06-12 - Pluton, poslednja oaza za život
• 2010-03-10 - CIVILIZACIJE
• 2024-08-15 - Koliko ima čestica u kosmosu?
• 2018-01-24 - Bor na ispitu
• 2021-08-15 - Može li da se čita uz zvezde?