Kad sam bio mali i išao u neke osnovne škole, čuo sam da postoje neimenovana “primitivna plemena” koja imaju reči za količine kao što su “jedan”, “dva”, “tri”, a za svaki veći broj se uhvate za kosu – što im je bio znak za “mnogo”, otprilike toliko koliko vlasi kose obuhvate šakama.  Ja sam bio zgranut, ne verujući da ti ljudi nisu u stanju da prebroje 4 noge kod neke životinje, ili 10 prstiju na svojim rukama, ali sam ćutao jer se u to vreme nezgodna pitanja u školi nisu postavljala.

Naravno, mi, klasno svesni, smo znali šta znači 10 ili 100 ili 1000 ili…ili…koliko?

Pa, mnogo. Na primer, kasnije smo standardno baratali brojevima kao što su 500 milijardi od koje su se ljudi za kosu hvatali, ali su novčanicu normalno koristili. Te večeri, kad je novčanica izdata, vredela je 5 nemačkih maraka, a već sledećeg jutra su je dileri deviza menjali za 3 marke. U to vreme je moglo da se postavi logično (mada ne preporučljivo) pitanje: ako se trend nastavi i štampaju se novčanice sa sve više i više nula, koliko nula može fizički (grafički) da stane na novčanicu te veličine? 25, 30? OK, možda i 40 nula, ali preko toga je praktično nemoguće.  Osim, naravno, ako se ne štampa na površini veličine fudbalskog terena-što je nepraktično za upotrebu. A i taj papir košta…i imamo li toliko mastila?

Svesni drugovi će reći: ih, kako su glupi – mogu da uštede na papiru i mastilu tako što bi napisali 5 10^11, umesto one brojke 500 000 000 000, te tako simbol od 12 znakova zapišu pomoću 6 . Naime, napišu broj 5, i svih onih 11 nula zamene novim znakom – 10^11 (znak “^” stoji za stepenovanje navedenim brojem).  Ovaj prilaz je praktičan jer i novčanica sa 40, ili 80, ili 99 nula može da se zapiše pomoću 6 znakova.

Ovaj prilaz ima dve manjkavosti: 1. Običan svet se ne snalazi najbolje sa stepenovanjem kao matematičkom operacijom i više voli da mu se sve nule konkretno ispišu i 2. Ne postoji primer u istoriji finansija da se ovakva notacija (stepenovanje) ikad ranije koristila.  Bilo bi smešno platiti veknu hleba novčanicom od, recimo, 5 10^80 dinara, a još smešnije i teže naći guvernera Narodne banke Srbije koji bi na takvu novčanicu stavio svoj potpis (mada za ovo oko potpisa nisam siguran). Ali, vratimo se velikim brojevima, jer o tome je ovaj blog.

Prvo, koliko veliki brojevi su zaista potrebni u nauci ili životu? U životu, videli smo, milijarde, ili hiljade milijardi, se povremeno pominju (na primer, spoljni dug Amerike je nedavno premašio 20 hiljada milijardi dolara), ali ja nisam siguran da su svi ljudi u stanju da sebi fizički predoče brojeve te veličine.

 Takvi brojevi, kako kaže Slavomir Mrožek u jednoj priči gde pominje neku mortadelu koja je bila toliko velika da je imala više “metafizički nego gastronomski smisao”.  Evo par “svarljivih” poređenja i ilustracija velikih brojeva.

50 milijardi (5 10^10): da je Bil Gejts zarađivao po jedan dolar svake sekunde od dana Hristovog rođenja (60 milijardi sekundi), on bi danas imao bogatstvo koje ima.  Manje više.  Da mu je ta zarada isplaćivana u “onim dinarima”, trebalo bi mu 10 života da zaradi onu jednu novčanicu.

500 milijardi: to je 5 puta više od procenjenog broja zvezda u našoj galaksiji, ili broja galaksija u kosmosu. Jedna novčanica iz onih srećnih vremena.

1000 milijardi (10^12): Aha, milion miliona! Trilion. Treba vam vrpca od trilion milimetara da vežete mašnicu oko Sunca. Četiri puta.

Američki spoljni dug je 20 puta veći; Gejts bi morao da zarađuje oko 400 dolara svake sekunde od Hristovog rođenja da bi mogao taj dug da ga vrati. Ili 40 onih novčanica iz slavnih vremena, da su denominovane u dolarima. Ukupno bogatstvo planete se procenjuje na oko 240 triliona.

1000 triliona (10^15): Kvadrilion. Milion milijardi. Po matematičkoj konvenciji taj broj se tako zove, ali retko ćete čuti nekoga da izgovara reč “kvadrilion” u bilo kom kontekstu. Na ovom mestu, i dalje, možete da zaboravite na normalne reči. Jasno je da ovaj proces može matematički da se nastavi do beskraja, ali prema njihovoj veličini je teško imati neku konkretnu svest, ili fizičku ilustraciju. 

Ipak, ovi brojevi, i mnogo veći, se povremeno pominju u nauci kada se priča o kosmosu. Recimo, procenjuje se da u celom kosmosu ima oko 10^80 atoma (jedinica sa 80 nula).  Potrebno je 10^90 (jedinica sa 90 nula) zrna peska, prečnika od pola milimetra, da se ispuni ceo kosmos peskom. Itd.

Ipak, pređimo na Mrožekovu metafiziku i upitajmo se koliki je najveći zamisliv broj. Možemo, na primer, da zamislimo da neko zapiše jedinicu i ispisuje za tom jedinicom nule celog života, i taj broj koji je zapisan je “najveći”. Ili, možda, da svi ljudi na planeti nastavljaju da zapisuju nule, dok su živi, kroz sve generacije dokle čovečanstvo postoji.  To bi bio neki broj za koji bi nam bilo potrebno mnogo, mnogo generacija da ga samo izgovorimo. A nije ni efikasno. Potreban je drugi prilaz i notacija. Ovo dopisivanje nula koje sam pomenuo, znači da se, sa svakom dopisanom nulom, onaj broj u eksponentu povećava za 1.

Na, primer, jedan od najvećih brojeva koji se odomaćio u rečniku gikova je “gugol” (na engleskom googol) i piše se, skraćeno, 10^100, tj., jedinica i 100 nula iza nje.  Za nas, sada već okaljene poznavaoce velikih brojeva, gugol i nije posebno veliki broj – na primer, može da se napiše za oko minut i po, ako pišemo po jednu nulu svake sekunde.

Kako zapisati veći broj? Sledeći prirodni korak je broj 10^gugol, tj desetka stepenovana gugolom. Taj broj se zove gugolpleks (googolplex). Koliki je taj broj? Pa, to je 10^(10^100), ili jedinica iza koje stoji 10^100 nula iza nje. To je mnogo milijardi i milijardi i triliona i kvadriliona (evo, upotrebio sam tu reč!), itd, nula. Preciznije, trebalo bi nam oko 3 10^92 godina da to ispišemo, po jednu nulu svake sekunde. Ako bi na svakom zrnu onog peska koji ispunjava ceo kosmos ispisali po jednu nulu, dobili bi broj koji je oko 10 milijardi puta manji od gugolpleksa.

Međutim, iz ovog rezonovanja, dolazimo do važnog zaključka: da bi zapisali velike brojeve mnogo je efikasnije stepenovati stepene nego dopisivati nule. Ovim postupkom smo iz dva koraka dobili broj koji je nezamislivo veliki – veći od kosmosa 10 milijardi puta. I za ovo stepenovanje stepena nam je potrebna nova notacija.

Na primer googolplex je 10^gugol, tj., 10^100, tj 10^(10^100). Evo, stepenovali smo stepen. Ovaj proces može lako da se nastavi: 10^(10^(10^(10^10))). Ovde imamo “kulu” stepenovanja stepena, koju ćemo prosto zvati kula (tower).  Međutim, notacija ubrzo postaje obimna. Treba voditi računa o broju zagrada da bi znali na koju celinu se one odnose. Za takve potrebe stepenovanja stepena se uvodi oznaka  ↑ koja je praktičnija.

Od sada pa na dalje ćemo graditi velike brojeve počinjući sa brojem 3 (kasnije će biti jasnije zašto to radimo – u principu da li generišemo velike brojeve pomoću desetke ili trojke nije mnogo bitno).   Na primer 3^3=27=33, ili 3↑ 3. Nastavljajući, 33^3=3^27=7625597484987 = 3 ↑↑2, to jest dvospratna kula trojki .  Radi lakše orijentacije, ovo se piše kao 3↑  (3↑ 3).  Na ovaj način, ukrotili smo operaciju iterativne eksponencijacije. Sada je lakše. Recimo, u opštem slučaju 3↑ ↑X je kula visine X trojki. Broj 3↑↑4, je broj 3^(3^(3^3))=3^(3^27)=3^(7.625.597.484.987)=broj od 3.6 triliona cifara! Daleko prevazilazi gugol. Iterativno eksponenciranje raste vrtoglavo.  Međutim i ovo može da se ubrza. Kao što se znak ↑ koristi za prosto množenje kao kod množenja (b puta) aaaa…=a^b, tako i ↑↑

stoji za zidanje kule, kao sto je gore opisano.  Prirodno, sledeći korak je operacija sa tri strelice. Tako je 3 ↑↑↑ 4 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)).  Setimo se, kada vidimo dve strelice, one označavaju kulu stepenovanja. Tako da tri strelice označavaju 3 ↑↑↑ 4 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)) = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 33^3), tj kulu kule stepenovanja.   Sada, setimo se da je ovaj deo zapisan crvenim slovima onaj broj 7.625.597.484.987, pa imamo 3 ↑↑↑ 4 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)) = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 33^3) = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 7,625,597,484,987).  U pitanju je, dakle, broj 3 stepenovan kulom trojki visine 3^ (7625597484987).   Ako bi koristili standardnu veličinu brojeva i standardni način pisanja stepena, ta kula bi bila visine oko 150 miliona kilometara – rastojanje od Zemlje do Sunca. I to samo da bi taj broj zapisali! Da rekapituliramo:

↑=stepenovnje  ↑↑=kula stepenovanja  ↑ ↑↑ = kula kule stepenovanja  

 I ostaje nam još jedan korak da dođemo do cilja – uvodimo 4 strelice. Taj broj se označava sa g1=3↑↑ ↑↑3, tj g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3), ili g1 = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)).  Sada, mi znamo da je ovaj deo zapisan crvenom bojom kula stepenovanja do Sunca, tako da je 3 ↑↑↑↑ 3 kula kule kule stepenovanja do Sunca. Ovako veliki broj mora čak i doc-sa da impresionira.  Međutim, mi smo tek počeli…  

Za one kojima je ovo teško čitljivo, dole sam postavio dobar klip koji lepo prikazuje ceo ovaj proces od početka

Broj g1 je zaista veliki, ali moguće je zapisati i sledeći, veći. Broj g2 se ne dobija pomoću 5 strelica. Ne, broj g2 se dobija kada upišemo g1 strelica između trojki. Ali, to je nemoguće zapisati niti izračunati! Pa, zapisaćemo ga ovako g2=3g13, gde g1 označava broj strelica između trojki. Wow! Aha, ali ovo može i da se nastavi!   Uvedimo broj g3=3g23. Znači, taj smešno mali broj g2 označava broj strelica kod definicije broja g3 , a on nam samo služi da definišemo broj g4=3g33, itd.  

Ima li kraja ovom ludilu, i šta je nas cilj? Odgovor – ima. Ovakvim postupkom dolazimo do broja g64. E, taj broj nam treba i on se zove Grahamov broj. To je broj koji se dobije postupkom g64=3g633, itako dalje, iteracijom. Setimo se da smo prostim građenjem kula kuli itd davno prevazišli sve brojeve koje mogu u prirodi da se jave prostim brojanjem. Znaci, g64 je apsurdno veliki broj koji u ovom kosmosu nema šta da traži.   Prema nekim teorijama multiverzuma, njih ima 10^500 – prava sitnica! Ako bi sve te multiverzume napunili peskom (pretpostavimo da su oni veličine našeg kosmosa), i na svakom zrnu peska napisali nulu, time ne bi zapisali ni delić Grahamovog broja. Pa, sta će nam onda Grahamov broj?Taj broj je otkrio matematičar Ronald Graham pokušavajući da dokaze Remzijevu hipotezu.   A šta je Remzijeva hipoteza? Ona je ilustrovana na početnoj slici: Ako bi uzeli kocku od n dimenzija (na slici je prikazana kocka od 3 dimenzije) i svaki par čvorova (ćoškova) te kocke spojili linijom da se dobije kompletan graf, i sada svaku liniju (spoj) obojili crvenom ili plavom bojom (pogledati sliku gore). Remzijeva hipoteza, pomalo dosadna i zbunjujuća, kaže da postoji najmanji broj dimenzija kocke, n, kada se, prilikom bilo kakvog rasporeda boja, dobije koplanarni (da leži u istoj ravni) graf koji je jednobojan. Na gornjoj slici je jedan takav graf prikazan.

Ne postoji jednoznačan odgovor na ovo pitanje, ali Graham je otkrio da postoji gornja i donja granica (koliko sam pratio, donja granica je 11) dimenzija te “kocke”. Gornja granica je, razume se, Grahamov broj G=g64. Ovaj nezamislivo veliki broj je prvi put upotrebljen u nekom ozbiljnom matematičkom dokazu. Matematičari često koriste izraz beskonačno, ali malo ljudi naslućuje šta “beskonačno” znaci. Grahamov broj je ogroman broj, ali on je tek prvi malecni korak ka beskonačnosti, ako je i to.