Kao većina inženjera tehnike, vezan sam za brojeve. Ali kao ljubitelj astronomije, naročito za one velike. U svakoj mojoj knjizi do sada makar jedno poglavlje posvećivao sam brojevima. Danas bih rekao nešto o jednom od onih najvećih.
Vrlo veliki brojevi najčešće se pojavljuju u matematici, kosmologiji, kriptografiji (šifrovanju) i statističkoj termodinamici. I u našem jeziku se ponekad kaže da je neki broj „astronomski velik“, ali matematički je lako definisati brojeve koji su mnogo veći čak i od onih koji se koriste u astronomiji.
[Napočetku napominjem da je ova oblast danas toliko složena i komplikovana da je nemoguće o njoj laički pisati, pa čak ni površno. Mnogi termini, simboli i izrazi su do te mere usko stručni da bi čak i njihovo najjednostavnije objašnjavanje zahtevalo stranice pisanja i računskih primera.]
Odavno su se naučnici dogovorili o načinu pisanja prevelikih i premalih brojeva da ih ne bi pisali u decimalnoj formi. Zato je usvojen tzv. naučni način pisanja takvih brojeva, npr. , koji se sastoji od koeficijent (a) nazivanog mantisa, i eksponenta, potencije ili izložioca (b), koji može da bude bilo koji realan broj. Na ovaj način moguće je napisati bilo koji broj; npr. 820 može da se napiše kao , ili , ili .
Naučni način pisanja uveden je da bi što lakše i preglednije mogle da se pišu velike numeričke vrednosti u naučnim tekstovima. Na primer, označava jednu milijardu, 1 iza kojeg se nalazi 9 nula: 1 000 000 000, dok označava jedan milijarditi deo, odn. 0,000 000 001. Pisanje 109 umesto jedinice sa devet nula značajno štedi prostor u tekstu ali i štiti onog ko čita od pogrešnog brojanja nula.
Veliki brojevi su zanimljivi iz više razloga. Naprimer, broj bajtova na nekom (starom) HDD iznosi 1 073.741.824, odn. 10243 ili 230 bajtova – to nazivamo jednim gigabajtom[1]. Broj neuronskih veza u Dačićevom mozgu je oko 1014. Tzv. Avogadrov broj, broj atoma, jona ili molekula u jednom gram–molu gasa, jednak je 6,02214179(30) × 1023.
Jako veliki brojevi
Ono što je zanimljivo, to su tzv. astronomski veliki brojevi. Naprimer, ako neko piše o modelu Velikog praska, onda kaže da je naš kosmos star 13,8 milijardi godina ( sekundi), a da prema istraživanju Hablovog teleskopa ima prečnik od 93 milijardi svetlosnih godina ( metara), da sadrži oko zvezda, organizovanih u približno 125 milijardi ( ) galaksija. Gruba procena je da u vidljivom kosmosu ima 100 kvinvigintiliona, odn. 1080 atoma.
Prema profesoru fizike sa kanadskog univerziteta Alberta, Donu Pageu, najduži konečni period vremena koji su do sada naučnici precizno izračunali iznosi
godina,
što odgovara procenjenom Poincaréovom povratnom vremenu [2] kvantnog stanja hipotetičke kocke koja sadrži crnu rupu mase čivatvog kosmosa, vidljivog i nevidljivog, a prema inflacionom modelu sa inflacijom čija je masa 10−6 Planckove mase. Pojednostavljeno, prema takvom modelu to je vreme za koje će se istorija našeg kosmosa ponoviti, ali će zbog svojstava statističke mehanike sve izgledati samo slično sadašnjem stanju.
Kombinatorički procesi proizvode još veće brojeve. Funkcija faktorijala[3], koja definiše broj permutacija nekih elemenata, raste vrlo rapidno sa porastom njihovog broja. Stirlingova formula pruža precizan asimptotski prikaz tog rasta. Kombinatorički procesi daju vrlo velike brojeve u statističkoj mehanici. Oni su toliko veliki da se obično koriste samo njihovi logaritmi[4].
Kompjuteri i složenost računanja
U oblasti računara, još od 1965. godine možemo da čitamo o famoznom Morovom zakonu, koji govori da će se broj tranzistora po kvadratnom inču duplirati svakih 18 meseci. Tada vodeći umovi iz te oblasti poverovali su da će računari uskoro moći da reše bilo koji matematički problem, bez obzira koliko on bio komplikovan. To se nije dogodilo, najviše zahvaljujući ograničenjima fundamentalne fizike, ali i nekim drugim ograničenjima. Recimo, neki teorijski rezultati govore da neki problemi, kao što je problem zaustavljanja[5], onemogućavaju kompletiranje rešenja, bez obzira koliko mašina bila jaka ili brza.
|
Mi danas koristimo Chuquetov prepravljeni sistem, koji datira još od XVII veka, a koji smo preuzeli od Francuza, ali u našoj literaturi se zbog nestručnog prevođenja i nepoznavanja materije nalazi svašta. Recimo, malo ko je u stanju da vam kaže kako se kod nas pravilno naziva hiljadu miliona (109): negde kažu bilion a negde milijarda. Prvo je prosto prepisivanje iz američkih tekstova, a drugo je pravilno. Još veći mrs je oko toga kako se pravilno kaže za hiljadu milijardi (1012): da li bilion ili je to milijarda? Šta je onda trilion ili kvadrilion? Po Amerikancima, prvo je 1012, a po Francuzima 1018. Kvadrilion je po Amerikancima 1015, a po Francuzima 1024. U životu sam čuo za recimo sekstilion, ali šta je to – niko nije umeo da mi autoritativno kaže, čak ni na faksu. Mislim da kod nas niko o tome nikad nije ni vodio računa, bar ja nisam čuo ... |
Između 1980. i 2000. veličina hard–diska je porasla sa oko 10 megabajta (107 bajta) na preko 100 gigabajta (1011 bajta). Na disk od 100 gigabajta mogu da stanu imena svih sedam milijardi Zemljana[6] bez kompresije podataka. Ali šta ako bi želeli da sačuvamo sve moguće passworde koji bi imali do 40 karaktera? Pod pretpostavkom da je svaki karakter jednak jednom bajtu, onda bi to značilo da ima oko 2320 takvih passworda, što je oko . U svom naučnom radu „Computational capacity of the universe”, fizičar Seth Lloyd sa Massachusetts Institute of Technology kaže da čak i kad bi sve čestice u kosmosu poslužile kao delovi jednog ogromnog računara, on bi mogao da stornira samo 1090 bajta, što je tek milioniti deo spiska svih passworda. Ako bi ipak (nekako) tom računaru naredili da počne da briše navedene passove jedan po jedan, takav program bi radio beskonačno dugo. Ako znamo da moderni PC izvode 1 milijardu operacija u sekundi, trebalo bi mu 2 × 1089 sekundi da obavi čitav zadatak, što je oko 6 × 1079 godina. Nasuprot tome, rekli smo da je kosmos star 13,8 milijardi ( ) godina. Računari će svakako biti sve brži, ali u svom radu dr L. Seth je procenio da čak i kad bi čitav kosmos funkcionisao kao računar on ne bi mogao da obavi više od 10120 operacija od Velikog praska do danas. To je trilionima puta više operacija nego što je potrebno za prikaz svih 40-karakternih passworda.
Prema podacima od pre neku godinu, PC su 2005. mogli da izvedi 240 operacija sa par minuta. Nekoliko hiljada računara bi potrošilo nekoliko godina da reše problem koji bi zahtevao 264 operacija, ali nijedna broj tradicionalnih računara ne bi mogao da reši problem koji zahteva 2120 operacija.
Ono što moram ovde da kažem a meni je još od detinjstva bilo zanimljivo kod velikih brojeva, to je da se npr. hiljadu puta veći broj od 105 piše kao 108, tj eksponenti se jednostavno sabiraju! Obrnuto, 1000 puta manji broj od, recimo, 1030, jeste 1027. Gledano površno i ko ne zna matematiku razlika izgleda mala a razlika je zapravo hiljadu puta!
Gugol
Pišući o brojevima, u knjizi iz 2003. godine „Molim da te pitam“ napisao da je način imenovanja brojeva jako zamršen posao i da zavisi od vremena i od zemlje do zemlje (npr. 109 se po „Američkom sistemu”, ili kako oni kažu „short scale”, naziva billion, po „Chuquetovom[7] sistemu“, ili „long scale”, thousand million tj. hiljadu miliona, a po „Modifikovanom Chuqetu“ milliard. Da haos bude veći, danas na engleskom govornom području imamo sva tri sistema u upotrebi, a konfuzija se povećala kada su 1948. Francuzi objavili da se oni vraćaju starom, Chuquetovom sistemu, a nekoliko godina kasnije i Englezi, koji su objavili da će se držati tzv. Američkog sistema.)
Tada sam pomenuo jedan neobičan broj, „gugol“, čijem imenu je kumovao 9–godišnji klinac, nećak američkog matematičara Edwarda Kasnera. Gugol je veliki broj 10100, koji čini 1 i 100 nula: 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. Prema Američkom („short”) sistemu, gugol se naziva deset duotrigintilon, a prema Chuquetovom („long”) sistemu deset hiljada seksdeciliona.
Ovaj broj nema neki značaj u matematici. Koriste ga da bi ga uporedili sa drugim velikim brojevima, kao što je broj subatomskih čestica u vidljivom kosmosu ili broj mogućih partija u šahu. Kasneru je služio da ilustruje razliku između nezamislivo velikog broja i beskonačnog, tako da se i danas često koristi u edukativnim pričama u matematici.
Gugol je približno 70! (faktorijal od 70). U binarnom sistemu treba 333 cifre da se predstavi gugol, tj. 1 gugol = 2332,2, ili tačnije . 1 gugol (1E100) je „za mrvicu“ veći od najvećeg broja koji obično može da se predstavi na većini ručnih „digitrona“, koji iznosi 9,999...x 10E99 prikazan naučnim načinom pisanja sa dvocifrenim eksponentom. Obično je moguće izračunati 69! ali ne i 70!
Broj je stekao javnu popularnost nakon što je 2001. godine bio odgovor na ključno pitanje u jednoj epizodi britanske emisije „Želite li da postanete milioner?“ Učesnik je osvojio 1 milion funti ali se kasnije otkrilo da je varao, jer je u publici bio čovek koji mu je kašljucanjem sugerisao tačan odgovor. Gugol (engl. googol) je i naziv internetske kompanije Google, ali su osnivači L. Page i S. Brin pogrešno spelovali ime broja[8].
Iako napisan na papiru izgleda prilično lepo i nedužno, gugol je pravi monstrum! Izgledalo je kao da nečega na sveti nema 1 gugol. Broj kišnih kapi koje su pale u čitavoj istoriji Zemlje, ili broj zrna peska na svim poznatim i nepoznatim plažama i okeanima u kosmosu ni blizu nisu gugolu!
A šta tek reći o gugolpleksu? To je čudo–broj, koji se piše ovako: – 10 na gugol!.
Astronom i popularizator nauke Carl Sagan je u jednoj TV emisiji[9] uzjavio da je pisanje gugolpleksa na standardni način (kao 1.000.000.000...itd.) fizički nemoguće, jer bi to zahtevalo više mesta nego što ga nudi čitav poznati kosmos.
U prosečnoj knjizi od 250 strana B5 formata ima oko 1000 cm3, i u njoj može da se otštampa 6 × 105 nula (5 karaktera u reči, 10 reči u redu, 25 redova po stranici, 250 stranica), ili 6 × 102 nula po kvadratnom santimetru. Vidljivi kosmos sadrži 1084 kubnih santimetara . Ova matematika pokazuje da bi u kosmos ispunjen štamparskim papirom moglo da se otprinta svega 6 × 1086 nula – što je daleko od 1 gugola nula. U mojoj knjizi sam dao račun iz koga se vidi da u poznatom kosmosu ima ukupno oko 2,2 × 1079 čestica u kosmosu (nukleona i elektrona). To su čestice sa masom; ako njima dodamo i, recimo, fotone[10], čestice bez mase, ukupna broj bi se popeo na oko 1081. Dakle, čak i ako bi zamislili da svaka čestica u kosmosu predstavlja jednu nulu, ponestalo bi nam čestica da predstavimo gugol nula.
Pretpostavimo da su gugolpleksove nule odštampane skoro nevidljivo sitno, u fontu od jedne tačke[11] (veličina 0,353 mm). U tom slučaju trebalo bi nam 3,5 × 1096 metara da predstavimo gugolpleks. Pošto smo već rekli da vidljivi kosmos ima 8,8 × 1026 metara (ili 96 milijardi svetlosnih godina) u prečniku, linija potrebna za ispisivanje nula bila bi 4 × 1089 puta duža nego što je to nama poznati kosmos!
Plankov prostor je zapremina kocke sa stranicama jednakim Plankovoj dužini, i to je najmanja merljiva zapremina, približne veličine 4,222 × 10-105 m3 = 4,222 × 10-99 cm3. Ispada ja 2,5 cm3 sadrži približno 1 gugol Plankovih prostora. Pošto u kosmosu ima samo 3 × 1080 kubnih metara, proizilazi da u čitavom kosmosu ima 7,1 × 10184 Plankovih prostora. Gugolpleks je daleko čak i od broja najmanjeg merljivog prostora u čitavom kosmosu.
Fizički kosmos
Već sam rekao da je gugol milion milijardi milijari puta veći od broja elementarnih subatomskih čestica u kosmosu (1081). Gugol je veći čak i od broja intervala Plankovog vremena proteklog od Velikog praska, kojih je (intervala) proteklo oko 8 × 1060. Dakle, jako je teško u fizičkom svetu pronaći primer brojeva koji bi bili uporedivi sa veličinom gugolpleksa. U analizama kvantnih stanja i crnih rupa, fizičar Don Page je pisao da bi „eksperimentalno određivanje da li se ili ne gube informacije u crnoj rupi mase Sunca ... zahtevalo više od 1076,96 merenja za grubo određivanje konačne gustine matrice nakon isparavanja crne rupe“. Teoretičari smatraju da će za 101500 godina hladna fuzija ostvarena posredstvom kvantnog tuneliranja dovesti do pretvaranja lakih jezgara obične materije u jezgra izotopa gvožđa-56. Fisija i emisija alfa-čestica mogli bi da dovedu do toga da se i teška jezgra takođe raspadni na gvožđe, ostavljajući objekte veličine zvezda u vidu hladnih gvozdenih lopti, poznatih kao gvozdene zvezde. Prema teoriji, očekuje se da će se u budućnosti kraj kosmosa usled Velikog zamrzavanja bez raspada protona dogoditi za oko godina, što je još uvek broj daleko od gugolpleksa.
U jednom posebnom radu, Page je izračunao da se broj stanja u crnoj rupi mase Andromedine galaksije kreće u rasponu gugolpleksa.
Sagan je dao jedan primer: recimo da čitav kosmos (recimo 3 × 1080 m3) ispunimo finim česticama veličine 1,5 mikrona (hiljaditog dela mm). Ukupna broj različiitih kombinacija na koji bi mogli da rasporedimo te čestice bio bi otprilike jednak 1 gugolpleksu.
I tako bi otprilike izgledala priča o gugolu i gugolpleksu. Time priča o velikim brojevima nije završena, a nikada i neće. Nisam pomenuo da je prvog numeričkog džina pominjao još Arhimed u III neku p.n.e., kada je napisao da prema njegovim procenama treba 1063 zrna peska da se ispuni čitav kosmos. Nisam pomenuo centillion, koji je jednak 10303 ili 10600, u zavisnosti od sistema prikazivanja. Nisam ni Skewesove brojeve:
prvi 
, i drugi 
,
koji su nepojmljivo veliki – ali o svemu tome možda neki drugi put.
Prefiks giga u Međunarodnom sistemu jedinica (SI) označava 109. Ja sanjam o Terabajtu – 1040 bajtova.
Poincareova povratna teorema, objavljena 1890, tvrdi da se nakon dugog vremena određeni dinamički sistemi vraćaju u stanja vrlo bliska početnom. Vreme potrebno za to se naziva Poincareovo povratno vreme. Teorema važi za fizičke sisteme gde je energija konstantna.
U matematici, faktorijal ne-negativnih celih brojeva (svi pozitivni prirodni brojevi i nula) n, označen simbolom n!, predstavlja proizvod svih pozitivnih brojeva manjih od n. Npr. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Logaritam jednog broja je eksponent (potencija) na koji treba da se digne osnova („baza“) da bi se dobio taj broj. Npr. logaritam od 125 za osnovu 5 iznosi 3, jer je 125 5 na 3: 125 = 5 × 5 × 5 = 53. Baza može da bude različita, a najčešće je 10.
U računarskoj teoriji, to se krije problem u proceni računarskog programa da odluči da li da završi rad na nekom zadatku ili da nastavi da ga rešava večno. Ovim problemom matematičari se bave već 80 godina.
Statistika kaže da je 7–milijarditi stanovnik rođen krajem 2011. u Manili. To je devojčica Danica May Camacho.
Francuski matematičar Nicolas Chuquet (1445–1488), čije imenovanje velikih brojeva se bazira na latinskom numeričkom prefiksu i sufiksu –ilion, koji označava 106. Mi danas koristimo njegov prepravljeni sistem, koji datira još od XVII veka, a koji smo preuzeli od Francuza, ali u našoj literaturi se zbog nestručnog prevođenja i nepoznavanja materije nalazi svašta.
Nisu se potresli, već su odlučili da svoje sedište u gradu Mountain Viewu nazovu Googleplex.
Cosmos: A Personal Voyage, Episode 9: "The Lives of the Stars"
Brojčana vrednost pozadinskih fotona kreće se između 108 i 2 × 1010 po barionu (protonu, neutronu i sl.)
Od kraja XIX veka najmanja mera veličine u štamparstvu, obeležava se sa pt a danas je koriste i računari. Jedinica za merenje veličine slova.
Još o brojevima:
Matematičko predstavljanje velikih i malih brojeva
Sistem imenovanja velikih brojeva
KOJI TELESKOP DA KUPIM?
