Razmotrite sledeću rečenicu: "Ova izjava je lažna." Da li je to tačno? Ako jeste, to bi učinilo ovu izjavu lažnom. Ali ako je netačno, onda je izjava tačna. Ova izjava, direktno se odnoseći na sebe, stvara nerazrešiv paradoks. 

Dakle, ako nije tačno i nije netačno - šta je onda? Ovo pitanje može delovati kao besmislen misaoni eksperiment. Ali početkom 20. veku, to je dovelo austrijskog logičara Kurta Gedela do otkrića koje će zauvek promeniti matematiku. Gedelovo otkriće ima veze sa ograničenjima matematičkih dokaza. Dokaz je logički argument koji dokazuje zašto je izjava o brojevima tačna.

Temeljni elementi ovih argumenata nazivaju se aksiomi - nepobitne izjave o brojevima koji su uključeni. Svaki sistem izgrađen na matematici, od najkompleksnijih dokaza do osnovne aritmetike, sastavljen je od aksioma. I ako je izjava o brojevima tačna, matematičari bi je trebali moći potvrditi aksiomatskim dokazom. Od drevne Grčke, matematičari su koristili ovaj sistem kako bi potvrdili ili osporili matematičke tvrdnje sa potpunom sigurnošću.

Ali kad je Gedel ušao u oblast, neki novo otkriveni logički paradoksi ugrozili su tu sigurnost. Ugledni matematičari bili su željni dokazati da matematika nema protivrečnosti. Sam Gedel nije bio tako siguran. A bio je još manje siguran da je matematika pravi alat za istraživanje ovog problema. Dok je relativno lako stvoriti samo-referentni paradoks sa rečima, to nije lako sa brojevima. Matematička izjava je jednostavno tačna ili netačna. Ali Gedel je imao ideju.

Prvo je preveo matematičke izjave i jednačine u brojeve tako da složena matematička ideja može biti izražena u jednom broju. To je značilo da su matematičke izjave napisane tim brojevima takođe izražavale nešto o kodiranim izjavama matematike. Na ovaj način, kodiranje je omogućilo matematici da govori o sebi. Kroz ovu metodu, bio je u mogućnosti da napiše: "Ova izjava ne može biti dokazana" kao jednačinu, stvarajući prvu samo-referentnu matematičku izjavu.

Međutim, za razliku od početne nejasne rečenice koja ga je inspirisala, matematičke izjave moraju biti, i jesu, tačne ili netačne. Pa šta je onda? Ako je netačna, to znači da izjava ima dokaz. Ali ako matematička izjava ima dokaz, onda mora biti tačna.

Ovaj protivrečni razlog znači da Gedelova izjava ne može biti netačna, i stoga mora biti tačno da "Ova izjava ne može biti dokazana". Ali, ovaj rezultat je još iznenađujući, jer znači da sada imamo tačnu jednačinu matematike koja tvrdi da ju je nemoguće dokazati! Ovo otkriće je srž Gedelove Teoreme o nekompletnosti, koja uvodi potpuno novu klasu matematičkih izjava.

U Gedelovom paradigmi, izjave su i dalje ili tačne ili netačne, ali tačne izjave mogu biti dokazane ili nedokazane u okviru datog sistema aksioma! Nadalje, Gödel tvrdi da ove nedokazive tačne izjave postoje u svakom aksiomatskom sistemu. To znači da je nemoguće stvoriti savršeno potpun sistem koristeći matematiku, jer će uvek postojati tačne izjave koje ne možemo dokazati. Čak i ako uzmete ove nedokazive izjave i dodate ih kao nove aksiome u prošireni matematički sistem, taj proces uvodi nove izjave koje se ne mogu dokazati. Bez obzira koliko aksioma dodate, u vašem sistemu uvek će postojati nedokazive tačne izjave.

To je dubina Gedelove misli!

Ovo otkriće potreslo je temelje matematike, uništavajući one koji su sanjali da će svaka matematička tvrdnja jednog dana biti dokazana ili opovrgnuta. Iako je većina matematičara prihvatila ovu novu stvarnost, neki su joj se žustro suprostavljali. Drugi su pokušali da ignorišu ovu novo otkrivenu rupu u srcu svoje oblasti. Ali kako su sve više klasičnih problema pokazalo kao nedokazive istine, neki matematičari su počeli da brinu da će njihov životni rad biti nemoguće završiti.

Ipak, Gödelova teorema otvorila je jednako mnogo vrata koliko je zatvorila. Znanje o nedokazivim tačnim izjavama inspirisalo je ključne inovacije u razvoju računara. Danas, neki matematičari posvećuju svoje karijere identifikaciji izjava koje se mogu dokazati da su nedokazive. Dakle, iako su matematičari izgubili neku sigurnost, zahvaljujući Gedelu, mogu da prihvate nepoznato koje se nalazi u srcu svakog traganja za istinom.

https://www.youtube.com/watch?v=I4pQbo5MQOs